AriketaEDAertaina

Ariketa: bigarren ordenako EDO sistema gisa, eskuz

y''−sin y=0 lehen ordenako sistema batera murriztu eta y(3) hurbildu Euler-en bi pausorekin eta RK4 bektorialaren pauso batekin.

Sistemara murriztea

$y''-\sin y=0$ hartzen da, $y(1)=2$ eta $y'(1)=0$ izanik, eta $y(3)$ hurbildu nahi da. Murrizketa estandarreko $y_1=y$ , $y_2=y'$ aldagaiekin, sistema eta hasierako baldintza hauek dira:

Y'=F(t,Y)=\begin{bmatrix} y_2 \\ \sin y_1 \end{bmatrix},\qquad Y(1)=\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix}

Euler bektorialaren bi pauso

AdibideaEuler h=1 hartuta

Aplikatu Euler esplizituaren bi pauso $h=1$ hartuta sistemari, $Y_0=[2,0]^T$ -tik abiatuta.

Lehen pausoa: $F(1,[2,0]^T)=[0,\ \sin 2]^T=[0,\ 0.9093]^T$ .
$Y_1=\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}+1\cdot\begin{bmatrix}0\\0.9093\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\0.9093\end{bmatrix}$
Bigarren pausoa: $F(2,[2,\ 0.9093]^T)=[0.9093,\ \sin 2]^T=[0.9093,\ 0.9093]^T$ .
$Y_2=\begin{bmatrix}2\\0.9093\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0.9093\\0.9093\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2.9093\\1.8186\end{bmatrix}$

Lehen osagaiak soluzioa hurbiltzen du: $y(3)\approx 2.9093$ .

RK4 bektorialaren pauso bat

AdibideaRK4 h=2 hartuta

Aplikatu RK4-ren pauso bat $h=2$ hartuta sistema berari, $Y_0=[2,0]^T$ -tik $t_0=1$ -ean.

$K_1=F(1,[2,\ 0]^T)=[0,\ 0.9093]^T$ .
$K_2=F\bigl(2,\ [2,0]^T+1\cdot K_1\bigr)=F(2,[2,\ 0.9093]^T)=[0.9093,\ 0.9093]^T$ .
$K_3=F\bigl(2,\ [2,0]^T+1\cdot K_2\bigr)=F(2,[2.9093,\ 0.9093]^T)=[0.9093,\ 0.2302]^T$ , $\sin 2.9093=0.2302$ delako.
$K_4=F\bigl(3,\ [2,0]^T+2\cdot K_3\bigr)=F(3,[3.8186,\ 0.4604]^T)=[0.4604,\ -0.6265]^T$ .
Amaierako konbinazioa osagaiz osagai:
$Y_1=Y_0+\frac{2}{6}\bigl(K_1+2K_2+2K_3+K_4\bigr)=\begin{bmatrix}3.3659\\0.8540\end{bmatrix}$

RK4-k $y(3)\approx 3.3659$ ematen du (eta $y'(3)\approx 0.8540$ ). Berriro ere, ordena altuko metodoak nabarmen zuzentzen du Euler-en estimazioa, ebaluazio-kostu berarekin.