AriketaEkuazio ez-linealakertaina

Ariketa: sekantea eskuz

Sekantearen metodoa cos²x−x=0 ekuazioari aplikatuta x0=0, x1=1-etik: bost iterazio diferentzia zatitu esplizituekin eta konbergentzia superlineala agerian.

Ebazpena

AdibideaSekantea x₀=0, x₁=1 hartuta

Hurbildu f(x)=cos⁡2x−xf(x)=\cos^2 x-x-ren erroa sekantearen metodoarekin, x0=0x_0=0 eta x1=1x_1=1-etik abiatuta.

  1. Hasierako balioak: f(0)=1f(0)=1 eta f(1)=−0.7081f(1)=-0.7081. Lehen diferentzia zatitua f[x1,x0]=f(1)−f(0)1−0=−1.7081f[x_1,x_0]=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=-1.7081 da, eta:

    x2=x1−f(x1)f[x1,x0]=1−−0.7081−1.7081=0.585455x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f[x_1,x_0]}=1-\frac{-0.7081}{-1.7081}=0.585455

  2. f(x2)=0.10924f(x_2)=0.10924 izanik: f[x2,x1]=0.10924−(−0.7081)0.585455−1=−1.9721f[x_2,x_1]=\frac{0.10924-(-0.7081)}{0.585455-1}=-1.9721; beraz, x3=0.585455−0.10924−1.9721=0.640845x_3=0.585455-\frac{0.10924}{-1.9721}=0.640845.

  3. Beste bi iteraziok eredu berari jarraitzen diote: x4=0.641722x_4=0.641722 (hondarra 1.6⋅10−51.6\cdot 10^{-5}) eta x5=0.6417144x_5=0.6417144 (hondarra 2.0⋅10−92.0\cdot 10^{-9}).

Lau iterazio erabilgarritan hondarra 10−110^{-1}-etik 10−910^{-9}-ra jaisten da deribaturik ebaluatu gabe. Berretzaileen kadentziak (−1,−3,−5,−9-1,-3,-5,-9) ordena superlineala islatzen du, p≈1.618p\approx 1.618: Newton baino motelagoa, bisekzioa baino askoz azkarragoa.