AriketaSistema linealakaurreratua

Ariketa: konbergentzia erradio espektralaren bidez

Diagonal nagusia ez den matrize bat non Jacobi dibergitzen den baina Gauss-Seidel konbergitzen den, iterazio-matrize bakoitzaren erradio espektrala kalkulatuz erabakia.

ρ(H)-rekin erabaki

Adibidea

A=(321232123)A=\bigl(\begin{smallmatrix}3 & 2 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 3\end{smallmatrix}\bigr) matrizerako (inbertigarria baina ez diagonal nagusia), erabaki zein metodo konbergitzen den bere iterazio-matrizeen erradio espektrala kalkulatuz.

  1. Iterazio-matrizeen erradio espektralak:

    ρ(HJ)=1.1241>1,ρ(HGS)=0.6083<1\rho(H_J)=1.1241>1,\qquad \rho(H_{GS})=0.6083<1

Teoremagatik, Jacobi dibergitzen da eta Gauss-Seidel konbergitzen; izan ere Gauss-Seidel-ek 13 iteraziotan lortzen du tolerantzia Jacobi 300etan konbergitzen ez den bitartean:

x(13)≈[0.6256, −0.5006, 0.1252]tx^{(13)}\approx[0.6256,\ -0.5006,\ 0.1252]^{t}